最近看了一些代码，忽然发现double类型的数据可表示的范围比long类型的数据表示的范围要大的多，同样是占用64位大小，差距竟如此之大。后来发现，工作了两三年，竟然现在还不太熟悉计算机中浮点数的表示方式，确实有些惭愧。
下面的内容参考自《深入理解计算机系统（原书第三版）》。
IEEE 浮点表示
IEEE浮点标准用 $V=(-1)^s\times M\times 2^E$ 来表示一个数：
- 符号（sign）：$s$ 决定是负数（$s=1$）还是正数（$s=0$）；
- 尾数（significand）：$M$ 是一个二进制小数，它的范围是$1\thicksim 2-\varepsilon$，或者是$0\thicksim 1-\varepsilon$；
- 阶码（exponent）：$E$ 代表2的次幂（可能是负数）。
在计算机中，把浮点数的位表示划分为3段：
- 一个单独的符号位 $s$；
- $k$ 位的阶码字段 $exp=e_{k-1}\cdots e_1e_0$ 编码阶码 $E$；
- $n$ 位小数字段 $frac=f_{n-1}\cdots f_1f_0$ 编码尾数 $M$，编码出来的值依赖于阶码字段的值是否等于0。
举例来说：
10进制中的 $9.0$ 在二进制中写成 $1001.0$，也就是 $1.001\times 2^3$，按照上面的格式，可以算出 $s=0$， $M=1.001$， $E=3$。
10进制中的 $-9.0$ 在二进制中写成 $-1001.0$ ，也就是 $-1.001\times 2^3$，那么 $s=1$， $M=1.001$， $E=3$。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位 $s$，接着的8位是指数 $E$，剩下的23位为有效数字 $M$。
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位 $s$，接着的11位是指数 $E$，剩下的52位为有效数字 $M$。
对于上述位的表示，根据阶码 $exp$ 的表示，可以分为三种情况：
规格化的值
这是一般的情况，当 $exp$ 的二进制表示中既不全为0，也不全为1（单精度格式8位，数值为255；双精度格式11位，数值为2047）时，都是这种情况。这种情况下，阶码字段被解释为以偏置（biased）形式表示的有符号整数。也就是说，阶码的值是 $E=e-Bias$，其中 $e$ 是无符号数，其位表示为 $e_{k-1}\cdots e_1e_0$，而Bias是一个等于 $2^{k-1}-1$（单精度是127，双精度是1023）的偏置值。所以由此产生的指数的取值范围，对于单精度来说是 $-126 \thicksim +127$，对于双精度来说是 $-1022 \thicksim +1023$。
小数字段 $frac$ 被解释为描述小数值 $f$， 其中 $0\leqslant f < 1$，其二进制表示为 $0.f_{n-1}\cdots f_1f_0$，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为 $M=1+f$。我们可以把 $M$ 看成是一个 $1.f_{n-1}f_{n-2}\cdots f_0$ 的数字。因为总是能够通过调整阶码 $E$ 使得尾数 $M$ 的值在范围 $1\leqslant M < 2$ 中，所以这一位可以省去，只保留后面的小数位，这样又能够获得一个精度位。
非规格化的值
当阶码位全为0时，表示的数就是非规格化的形式。这种情况下，阶码的值是 $E=1-Bias$，而尾数的值是 $M=f$，也就是小数字段的值不包括开头的1。
非规格化数有两个用途。
- 它们提供了一种表示数值0的方法，因为使用规格化数时，必须总是使 $M\geqslant 1$，这样就不能表示0。实际上，$+0.0$ 的浮点表示的位模式为全0：符号位是0，阶码字段全为0（表示是一个非规格化的值），而小数域也全为0，这就得到 $M=f=0$。但当符号位为1，其他域全为0时，会得到 $-0.0$。根据IEEE的浮点格式，值 $+0.0$ 和 $-0.0$在某些方面被认为是不同的，而在其他方面是相同的。
- 另外一个功能是表示哪些非常接近于 $0.0$ 的数。它们提供了一种属性，称为逐渐溢出（gradual underflow），其中，可能的数值分布均匀地接近于 $0.0$。
特殊值
这种情况是当阶码全为1时出现的。当小数域全为0时，得到的值表示无穷，当 $s=0$ 时是 $+\infty$，或者当$s=1$ 时是 $-\infty$。当把两个非常大的数相乘，或者除以0时，无穷可以表示溢出的结果。当小数域为非零时，结果值被称为 “NAN”。
下面想一下，为什么阶码的值要表示为 $E=e-Bias$？
下面内容参考自：https://www.zhihu.com/question/24115452
想一想，我们对两个用科学记数法表示的数进行加减法的时候，我们怎么做最简单？通过比较exponent的大小，然后通过移动小数点，让它们一致，之后，把数值部分相加，即可。
同样的，在计算机硬件的实现上，也是这样处理浮点数的加减法的~也就是通常所说的：求阶差、对阶，尾数相加，结果规格化。那么，这就产生了一个问题：如何比较两个阶的大小，以右移小阶所对应的fraction呢？
在原码的情况下，这样的比较是不方便的！因为按照规定，对于负数，符号位是1；正数，符号位是0。
那么一个正数01xxx和另一个正数00xxx比较，显然，01xxx大。
但是，一个正数0xxx和一个负数1xxx比较，还是按照上面的比较的话，我们认为是1xxx那个大。
所以，为了一个比较设计不同的电路确实不划算，所以让负数都变成正数，这样一来，比较就变得容易了。
舍入
因为表示方法限制了浮点数的范围和精度，所以浮点运算只能近似地表示实数运算。因此，对于值 $x$，我们一般想用一种系统的方法，能够找到“最接近的”匹配值 $x^\prime$，它可以用期望的浮点形式表示出来。这就是舍入运算的任务。
如果一个数是1.5，那么舍入到最接近的值应该是1还是2呢？下面介绍一下向偶舍入（round-to-even），也被称为向最接近的值舍入（round-to-nearest），这是默认的方式，方法是：它将数字向上或者向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数。因此，这种方法将1.5和2.5都舍入为2。
下面的表格用来说明舍入的方式：
| 方式 | 1.40 | 1.60 | 1.50 | 2.50 | -1.50 |
|---|---|---|---|---|---|
| 向偶舍入 | 1 | 2 | 2 | 2 | -2 |
| 向零舍入 | 1 | 1 | 1 | 2 | -1 |
| 向下舍入 | 1 | 1 | 1 | 2 | -2 |
| 向上舍入 | 2 | 2 | 2 | 3 | -1 |
为什么要使中间值向偶舍入呢？因为使用向上舍入或者向下舍入，会在计算这些值的平均数中引入统计偏差。如果两个数的中间值始终用向上舍入，那么得到的一组数的平均值将比这些数本身的平均值略高一些；相反，向下舍入得到的一组数的平均值将比这些数本身的平均值略低一些。
向偶舍入在大多数情况中避免了这种统计偏差，在 50% 的时间里，它将向上舍入，而在 50% 的时间里，它将向下舍入。
小数也可以使用向偶舍入，这时只需要考虑最低有效数字是奇数还是偶数。例如，假设想将十进制数舍入到最接近的百分位，不管用哪种舍入方式，我们都会将 1.2349999 舍入到 1.23，将 1.23450001 舍入到 1.24，因为它们都不是在 1.23 和 1.24 的正中间。如果是向偶舍入，则 1.2350000 和 1.2450000，因为 4 是偶数。
向偶舍入也可以使用在二进制小数上。我们将最低有效位的值0认为是偶数，值1认为是奇数。一般来说，只有对形如 $XX\cdots X.YY\cdots Y100\cdots$ 的二进制位模式的数，这种舍入方式才有效，其中 $X$ 和 $Y$ 表示任意位值，最右边的 $Y$ 是要被舍入的位置。只有这种位模式表示在两个可能的结果正中间的值。
例如，考虑舍入值到最近的四分之一（也就是二进制小数点右边2位）的位置时，我们将 $10.00011_2\left(2\frac3 {32}\right)$ 向下舍入到 $10.00_2(2)$， $10.00110_2\left(2\frac3 {16}\right)$ 向上舍入到 $10.01_2\left(2\frac1 {4}\right)$，因为这些值不是两个可能值的正中间值。我们将 $10.11100_2\left(2\frac7 {8}\right)$ 向上舍入为 $11.00_2(3)$，而 $10.10100_2\left(2\frac5 {8}\right)$ 向下舍入为 $10.10_2\left(2\frac5 {8}\right)$，因为这些值是两个可能值的中间值，并且我们倾向于使最低有效位为零。
为什么 $XX\cdots X.YY\cdots Y100\cdots$ 类型的数表示两个可能结果的中间值呢？以上面的例子说明，$10.11100_2$ 就是一个中间值，因为要保留到小数点后两位，所以看最后的 $100$，如果按照二进制整数来看的话，该值是十进制的4，而3位的二进制最大可以表示十进制中的7，可见4就是1到7的中间值了。
Double类的一些重要常量
下面看一下java中的Double类中定义的一些重要的常量：
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通过上面的分析，理解这里定义的这些常量也就很容易了。